Der kühle Rechner Kai Biermann hadert mit Newton, aber zum Auris Fahren reicht’s

In der aktuellen Ausgabe greift DIE ZEIT dankenswerter Weise schon einige Indizien auf, die ich mir für den zweiten Teil von ‘Argumente gegen die menschliche Seele’ vorgenommen hatte - beizeiten werde ich dahin verlinken. Als kleiner Freizeit-Wissenschaftsbloger ist die Unterstützung des ZEIT-Wissen-Ressorts ja nicht auszuschlagen.

Praktisch als Gegenleistung biete ich mich an, ungefragt, einem ZEIT-Mitarbeiter aus der Patsche zu helfen. Diese Woche (Seite 46 des ZEITmagazins LEBEN oder auch hier im Netz) steht nämlich Kai Biermann gedankenverloren vor einer offensichtlich von ihm mit physikalischen Gleichungen vollgekreideten Hauswand; gedankenverloren sucht er in einem Stapel Zettel nach der Lösung des ihn bedrängenden Problems; wie resigniert liegen nicht länger hilfreiche Blätter vor seinen Füßen. Selbst der Toyota Auris (2.2 D-Cat !) neben ihm macht dagegen eine souveräne Figur, was schon einiges heißen will. Und das alles wegen Newton. Oder wegen dieser hübschen Fotoassistentin, die uns mit dem Bild irgendwas sagen will und darum Kai Biermann in dieser seltsamen Pose abgebildet hat. Ausgerechnet unter dem Titel “Für kühle Rechner”.

Aber alles kein Problem. Das Ganze sieht ja erst mal schon sehr vielversprechend aus [1]

m * d²x/d²t = F

m * dx/dt = Ft + v(0)

m * x(t) = ½ Ft² + v(0)*t + ….

Den letzten Teil kann man nicht lesen, da steht Herr Biermann davor. Ist aber nicht so wichtig. Das ist schon besser als vieles, was ich in von mir gehaltenen, ähm, Lehrveranstaltungen sehen musste, und das dann von Leute, die mehr oder weniger Naturwissenschaftler werden wollten, nicht ZEIT-online-Autoredakteure bzw. wie die ZEIT schreibt, ‘Mitarbeiter ZEIT online’. Dass es in der ersten Zeile in korrekter Notation d²x/dt² heißen sollte: geschenkt.

Was wir hier sehen, oben angefangen, ist natürlich das wohl bekannteste Newtonsche Axiom: F=m*a, eine Gleichung, die es verdiente hätte, eher noch bekannter zu sein als das von so vielen in den unsinnigsten Zusammenhänge vorgestotterte E=mc². Newtons Axiom sagt schließlich nichts anderes, als das die einwirkende Kraft auf einen Gegenstand gleich dem Produkt aus dessen Masse und seiner dadurch vollzogenen Beschleunigung ist. Oder, umgestellt nach a=F/m, ein Körper wird so sehr beschleunigt, wie eine Kraft auf ihn wirkt, geteilt durch seine Masse: größere Kraft = höhere Beschleunigung; größere Masse = weniger Beschleunigung (bei gleicher einwirkender Kraft). Alles ganz einfach, total linear und begründet mal so eben die gesamte klassische Mechanik.

Die Notation oben hebt nur noch mal hervor, dass Beschleunigung die zweite Ableitung der Position x ist: Die Position ist zeitabhängig, x(t), weil sie sich der Auris Körper bewegt bzw. prinzipell bewegen kann. Er tut das mit einer Geschwindigkeit v = dx/dt: Je höher die Geschwindigkeit, umso mehr unterliegt die Position (x) einer Änderung (dx) pro Zeiteinheit (/dt). Und ebenso sind Beschleunigung und Geschwindigkeit a verbunden: Je höher die Beschleunigung, desto größer die Geschwindigkeitsänderung (dv) pro Zeiteinheit (/dt), also: a = dv/dt. Macht zusammen: a = d²x/dt². Physik - 10. Klasse?

Wenn m*a = F ist, müssen wir also, da ja v die Ableitung von a ist, was tun, um von a auf v zu kommen? Richtig, Integral bilden. Mathematik 11. Klasse, so pi mal Daumen. Dann können wir schreiben m * dx/dt, weil natürlich dx/dt das Integral von d²x/dt² ist und die Masse m nur ein Vorfaktor. Und auf der rechten Seite ergibt sich, konstante Kraft F integriert: F*t.

Da fehlt jetzt noch etwas, was man, nicht aber Kai Biermann, beim Integrieren schnell vergisst: die Addition einer Konstante, die auch Anfangsbedingung genannt wird. Das erklärt sich zweierlei: Hat man einen nicht zeitabhängigen additiven Anteil, fällt der in der Ableitung weg - die Ableitung enthält also diese Information nicht mehr. Darum muss man ihn in der Rückoperation Integration wieder dazu rechnen. Oder anschaulicher: Nach der Integration erhalte ich einen Zusammenhang zwischen der auf den Auris Körper wirkenden Kraft F und seiner Geschwindigkeit v an einem Zeitpunkt t. Je höher die Kraft, umso größer die Geschwindigkeit nach verstrichener Zeit t. Nur kann es ja sein, dass am Zeitpunkt t=0, wenn die Kraft einsetzt, der Wagen Körper nicht stillsteht, sondern sich schon mit einer Geschwindigkeit v(t=0) fortbewegt. Diese Anfangsgeschwindigkeit wird natürlich beibehalten: Wir haben also einen konstanten Geschwindigkeitsanteil v(0) und einen durch die Beschleunigung dazukommenden Anteil. Beides zusammen ergibt dann die Geschwindigkeit, die durch die zweite Gleichung ausgedrückt wird.

Kai Biermann tut also gut daran, eben diese Anfangsbedingung dazu zu addieren:

m * dx/dt = Ft + v(0)

Und an der Stelle steht er jetzt an der Ecke und weiß nicht mehr weiter. Denn irgendwo ist da doch ein Problem, obwohl er es doch genau so gemacht hat, wie ich es oben beschrieben habe und wie es bestimmt auch in dem Buch stand, das ihm die süße Fotoassistention mit der Kreide in die Hand gedrückt hat… Aber schon ein schneller Einheitenvergleich zeigt, dass was faul ist. Rechts haben wir eine Masse (kg) und eine Geschwindigkeit (km/h, quatsch: m/s, hier geht’s schließlich um Physik, nicht um den Auris), macht also: kg*m/s [2]. Rechts hingegen haben wir eine Kraft (kg*m/s²) und eine Zeit (s), macht also auch kg*m/s. Aber dazu sollen wir jetzt eine Geschwindigkeit addieren (m/s)?

Der Fehler ist natürlich ganz einfach. Die Ausführungen oben beziehen sich auf die Integration der Geschwindigkeit und stimmen für die. Wenn ich die Geschwindigkeit integrieren will, muss ich in der obersten Gleichung die Masse m auf die andere Seite der Gleichung setzten: a = F/m. Aufleitung ergibt dann: v = Ft/m + v(0) und fertig. Dass die Dimension stimmt, kann der werte Leser schnell selbst überprüfen. Anders gesagt: Will ich, wie hier, das Produkt aus Masse und Beschleunigung integrieren, ist natürlich auch meine Anfangsbedingung zur Zeit t=0 die eines Produkt von Masse und (aufgeleiteter Beschleunigung, nämlich:) Geschwindigkeit, also

m * dx/dt = Ft + m*v(0), bzw.

m* dx/dt = Ft + p(0) .

p ist dabei der Impuls, die Einheiten stimmen, die Rechnung auch [3], und Kai Biermann kann endlich seine Poserei beenden, in den Auris steigen, den vor dem ZEIT-Gebäude wieder abstellen und die Schlüssel an Helmut Schmidt zurückgeben. Nicht vergessen, Aschenbecher vorher noch mal ausleeren. Ein Ex-Kanzler ascht nicht gerne zwischen Klümpchenpapier. Ich hingegen mach jetzt Feierabend, addier noch zwei Punkte auf meinen Asperger-Score und betrink mich ganz fürchterlich und aber so was von. Und warte auf den Anruf von Toyota, die sich bestimmt erkenntlich zeigen wollen, dass ich ihre Karre hier durchweg genannt habe und sogar als cooler als den kühlen Rechner Kai Biermann dargestellt habe. Schließlich hat der sich in seinem Beitrag eher patzig zu Auris-Fahrern geäußert.

 

[1] Das Bild im Online-Portal der ZEIT ist kaum leserlich, darum ist die Druckausgabe hier sehr zu empfehlen: Im Weiteren beziehe ich mich nur auf die drei zentralen Formeln, nicht die durchgestrichene darüber, die offensichtlich selbst Kai Biermann für falsch hält; noch auf die durch einen Pfeil mit dem Rest verbundene hinter Biermanns Kopf, die ich selbst in der Druckausgabe nicht entziffern kann, besser: der Teil, den ich zu entziffern vermeine, ergibt beliebig wenig Sinn.

[2] Das ist keine rätselhafte Einheit, sondern die des Impulses. Der Impuls ist in der klassischen Mechanik kein Raumschiffantrieb, sondern das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Neben vielen anderen Dingen gibt der Impuls damit zum Beispiel an, wie tief die Delle in der Hauswand ist, wenn ich meinen Auris mit einer bestimmten Geschwindigkeit davorsetze.

[3] Die analoge Korrektur und Vervollständigung der dritten Gleichung ist Hausaufgabe für den werten Leser, der es wider Erwarten bis hier unter durchgehalten hat. Kontrolliert wird stichprobenartig bei Gelegenheit. Oder durch Helmut Schmidt.